الرياضياتالمستوى: سنة ثالثة ثانوي (بكالوريا - علوم تجريبية / رياضيات / تقني رياضي)
الرياضيات بكالوريا: الدوال الأصلية والمعادلات التفاضلية والحساب التكاملي وحساب المساحات والحجوم
ملخص ودرس مكتوب كامل ومنسق ومصحح بدقة (نسخة HTML كاملة مع الصور المرجعية) — الرياضيات بكالوريا: الدوال الأصلية والمعادلات التفاضلية والحساب التكاملي وحساب المساحات والحجوم
الدوال الأصلية، المعادلات التفاضلية، الحساب التكاملي وحساب المساحات والحجوم
📸 الوثيقة المرجعية الرسمية للدرس (الأستاذ توامي Maths - mathonec.com):
1. الدوال الأصلية (Primitives)
- التعريف: نقول أن الدالة
Fدالة أصلية للدالةfعلى مجالIإذا كانتFقابلة للاشتقاق علىIوتحقق:F'(x) = f(x). - شرط الوجود: كل دالة مستمرة على مجال
Iتقبل دوالاً أصلية على هذا المجال. - مجموعة الدوال الأصلية: إذا كانت
Fدالة أصلية لـf، فإن جميع دوالها الأصلية تُكتب على الشكل:F(x) + c(مع c ∈ ℝ).
2. جدول الدوال الأصلية للدوال المألوفة
| الدالة f(x) | دالتها الأصلية F(x) | ملاحظات ومجالات |
|---|---|---|
عدد ثابت a |
ax + c |
ℝ |
xⁿ (مع n ≠ -1) |
(1 / (n+1)) xⁿ⁺¹ + c |
ℝ |
1 / x² |
-1 / x + c |
]-∞; 0[ أو ]0; +∞[ |
1 / xⁿ (مع n ≥ 2) |
-1 / ((n-1) xⁿ⁻¹) + c |
ℝ* |
1 / √x |
2√x + c |
]0; +∞[ |
1 / x |
**`ln | x |
eˣ |
eˣ + c |
ℝ |
eᵃˣ⁺ᵇ |
(1 / a) eᵃˣ⁺ᵇ + c |
ℝ (مع a ≠ 0) |
cos(ax + b) |
(1 / a) sin(ax + b) + c |
ℝ (مع a ≠ 0) |
sin(ax + b) |
-(1 / a) cos(ax + b) + c |
ℝ (مع a ≠ 0) |
3. قواعد البحث عن الدوال الأصلية للمركبات
u' × uⁿ ⟶ (1 / (n+1)) uⁿ⁺¹ + c(مع n ≠ -1)u' / u² ⟶ -1 / u + cu' / uⁿ ⟶ -1 / ((n-1) uⁿ⁻¹) + c(مع n ≥ 2)u' / √u ⟶ 2√u + c(مع u(x) > 0)u' × eᵘ ⟶ eᵘ + cu' / u ⟶ ln|u| + c(مع u(x) ≠ 0)
4. المعادلات التفاضلية المقررة في البكالوريا
1. المعادلة: y' = a y
الحل العام: y(x) = C eᵃˣ (مع C ∈ ℝ)
2. المعادلة: y' = a y + b (مع a ≠ 0)
الحل العام: y(x) = C eᵃˣ - (b / a) (مع C ∈ ℝ)
3. المعادلة: y'' + ω² y = 0 (أي y'' = -ω² y)
الحل العام: y(x) = c₁ cos(ωx) + c₂ sin(ωx) (مع c₁, c₂ ∈ ℝ)
5. الحساب التكاملي وخواصه الأساسية
- تعريف التكامل: إذا كانت
Fدالة أصلية لـfمستمرة على[a; b]:∫ₐᵇ f(x) dx = [F(x)]ₐᵇ = F(b) - F(a)
الخواص الأساسية:
- علاقة شال (Relation de Chasles):
∫ₐᵇ f(x)dx = ∫ₐᶜ f(x)dx + ∫꜀ᵇ f(x)dx - الخطية:
∫ (α f + β g) = α ∫ f + β ∫ g - المكاملة بالتجزئة (Intégration par parties):∫ₐᵇ u(x) v'(x) dx = [u(x) v(x)]ₐᵇ - ∫ₐᵇ u'(x) v(x) dx
- القيمة المتوسطة لدالة على مجال:
m = (1 / (b - a)) ∫ₐᵇ f(x) dx - خواص التناظر في التكامل:
- إذا كانت
fدالة زوجية على[-a; a]:∫₋ₐᵃ f(x) dx = 2 ∫₀ᵃ f(x) dx - إذا كانت
fدالة فردية على[-a; a]:∫₋ₐᵃ f(x) dx = 0
- إذا كانت
6. حساب المساحات والحجوم المولدة بالدوران
أ. حساب المساحة S لحيز مستوٍ
- حيز فوق محور الفواصل (f(x) ≥ 0):
S = ∫ₐᵇ f(x) dx (u.a) - حيز تحت محور الفواصل (f(x) ≤ 0): المساحة موجبة دائماً:S = ∫ₐᵇ -f(x) dx = -∫ₐᵇ f(x) dx > 0 (u.a)
- حيز محصور بين منحنيين (Cf) و (Cg) حيث f(x) ≥ g(x):S = ∫ₐᵇ [f(x) - g(x)] dx (وحدة مساحة u.a)* وحدة قياس المساحة: `1 u.a = ||i⃗|| × ||j⃗||`.
ب. حساب حجم مجسم دوراني V
حجم المجسم الدوراني المتولد عن دوران المنحنى (Cf) دورة كاملة حول محور الفواصل (xx'):
V = π ∫ₐᵇ [f(x)]² dx (وحدة حجم u.v)
اختبر معلوماتك في هذا الدرس!
بعد أن أنهيت قراءة الدرس، يمكنك الآن تقييم فهمك من خلال امتحان تفاعلي قصير مع تصحيح فوري وتبرير للإجابات الخاطئة.