المكتسبات القبلية في الرياضيات — قواعد الحساب، المتطابقات الشهيرة والدائرة المثلثية

---

1. المتطابقات الشهيرة (الجداءات الشهيرة)

أ. متطابقات الدرجة الثانية

• مربع مجموع: (a + b)² = a² + 2ab + b²
• مربع فرق: (a - b)² = a² - 2ab + b²
• جداء مجموع حدين وفرقهما: (a - b)(a + b) = a² - b²

ب. متطابقات الدرجة الثالثة

• مكعب مجموع: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
• مكعب فرق: (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
• فرق مكعبين: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
• مجموع مكعبين: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

---

2. دراسة إشارة وحلول ثلاثي الحدود من الدرجة الثانية

لحساب حلول وإشارة ثلاثي الحدود: f(x) = ax² + bx + c (مع a ≠ 0)، نحسب المميز:

قيمة المميز Δ	عدد وطبيعة الحلول	عبارة التحليل f(x)	جدول إشارة f(x)
Δ > 0	حلان متمايزان: x₁ = (-b - √Δ) / 2a x₂ = (-b + √Δ) / 2a	a(x - x₁)(x - x₂)	تنعدم عند x₁ و x₂: • داخل مجال الجذرين: عكس إشارة a • خارج مجال الجذرين: نفس إشارة a
Δ = 0	حل مضاعف وحيد: x₀ = -b / 2a	a(x - x₀)²	تنعدم عند x₀ فقط، وتكون دائماً من نفس إشارة a على كامل ℝ
Δ < 0	لا توجد حلول حقيقية في ℝ	لا يقبل التحليل في ℝ	من نفس إشارة a دوماً على كامل ℝ (لا تنعدم أبداً)

---

3. القيمة المطلقة وخواصها الجبرية

• التعريف الجبري:

  • إذا كان x ≥ 0 فإن: |x| = x
  • إذا كان x < 0 فإن: |x| = -x
  • نتيجة أساسية: √(x²) = |x| (حذار: لا تساوي x إلا إذا كان x موجباً).

• الخواص الأساسية:

  1. |-x| = |x|
  2. |x × y| = |x| × |y|
  3. |x / y| = |x| / |y| (مع y ≠ 0)
  4. المتراجحة المثلثية: |x + y| ≤ |x| + |y|
  5. |x| = 0 ⟺ x = 0

• حل المعادلات والمتراجحات بالقيمة المطلقة:

  • |x - a| = r ⟺ x = a - r أو x = a + r
  • |x - a| ≤ r ⟺ a - r ≤ x ≤ a + r ⟺ x ∈ [a - r; a + r]
  • |x - a| ≥ r ⟺ x ≤ a - r أو x ≥ a + r ⟺ x ∈ ]-∞; a - r] ∪ [a + r; +∞[

---

4. قواعد الحصر والعمليات على المتراجحات

إذا كان a ≤ x ≤ b و c ≤ y ≤ d حيث جميع الأعداد موجبة تماماً:

• الجمع: a + c ≤ x + y ≤ b + d
• الضرب: a × c ≤ x × y ≤ b × d
• المقلوب: إذا كان a > 0 فإن: 1/b ≤ 1/x ≤ 1/a (ينقلب اتجاه المتباينة)
• الطرح (قاعدة ذهبية: لا نطرح المتراجحات أبداً!): نحصر -y أولاً: -d ≤ -y ≤ -c ثم نجمع مع حصر x:
  a - d ≤ x - y ≤ b - c
• القسمة: نحصر المقلوب 1/y أولاً: 1/d ≤ 1/y ≤ 1/c ثم نضرب في حصر x:
  a / d ≤ x / y ≤ b / c

---

5. الدائرة المثلثية وحساب المثلثات

أ. الدستور الأساسي والعلاقات المشتقة

• cos²(x) + sin²(x) = 1
• tan(x) = sin(x) / cos(x) (مع x ≠ π/2 + kπ)
• 1 + tan²(x) = 1 / cos²(x)

ب. دساتير الجمع ومضاعفة الزاوية

• دساتير الجمع:
  • cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)
  • cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)
  • sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)
  • sin(a - b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b)
• دساتير الضعف (2x):
  • sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)
  • cos(2x) = cos²(x) - sin²(x) = 2cos²(x) - 1 = 1 - 2sin²(x)
  • tan(2x) = 2tan(x) / (1 - tan²(x))

ج. جدول قيم النسب المثلثية للزوايا الشهيرة

الزاوية x بالراديان	0	π/6 (30°)	π/4 (45°)	π/3 (60°)	π/2 (90°)	π (180°)
sin(x)	0	1/2	√2 / 2	√3 / 2	1	0
cos(x)	1	√3 / 2	√2 / 2	1/2	0	-1
tan(x)	0	√3 / 3	1	√3	غير معرف	0

د. الزوايا المرفقة والتناظر في الدائرة المثلثية

• cos(-x) = cos(x) و sin(-x) = -sin(x) (الدالة cos زوجية و sin فردية)
• cos(π - x) = -cos(x) و sin(π - x) = sin(x)
• cos(π + x) = -cos(x) و sin(π + x) = -sin(x)
• cos(π/2 - x) = sin(x) و sin(π/2 - x) = cos(x)
• cos(π/2 + x) = -sin(x) و sin(π/2 + x) = cos(x)