إنشاء المنحنيات، المناقشة البيانية والدوال الأسية واللوغاريتمية

📸 الوثيقة المرجعية الرسمية للدرس (الأستاذ توامي Maths - mathonec.com):

$إنشاء المنحنيات والمناقشة البيانية والدوال الأسية واللوغاريتمية$

$إنشاء المنحنيات والمناقشة البيانية والدوال الأسية واللوغاريتمية$

1. إنشاء منحنى انطلاقاً من منحنى معلوم (التحويلات النقطية)

إذا كان لدينا منحنى الدالة g معلوماً، وأردنا رسم منحنى الدالة f:

عبارة الدالة f(x)	التحويل الهندسي لرسم (Cf) انطلاقاً من (Cg)
`f(x) = g(x) + b`	انسحاب بشعاع: `v⃗(0; b)` (إزاحة رأسية)
`f(x) = g(x + a)`	انسحاب بشعاع: `v⃗(-a; 0)` (إزاحة أفقية)
`f(x) = g(x + a) + b`	انسحاب بشعاع مركب: `v⃗(-a; b)`
`f(x) = -g(x)`	تناظر بالنسبة إلى محور الفواصل `(xx')`
`f(x) = g(-x)`	تناظر بالنسبة إلى محور التراتيب `(yy')`
`f(x) = -g(-x)`	تناظر بالنسبة إلى مبدأ المعلم `O`
`f(x) =	g(x)
`f(x) = g(	x

المناقشة البيانية هي إيجاد عدد وإشارة فواصل نقط تقاطع المنحنى (Cf) مع مستقيم متغير (Dm).

المستقيم (Dm) أفقي معادلته y = m يوازي محور الفواصل، ويتحرك عمودياً من -∞ إلى +∞.
عدد الحلول هو عدد نقط التقاطع، وإشارتها تحددها فاصلة نقطة التقاطع (يمين محور التراتيب موجبة، يسار سالبة، وعند المحور معدومة).

المستقيم (Dm) مائل معامله الثابت a يوازي المقارب المائل، ويتحرك صعوداً وهبوطاً بتغير القيمة m (نقطة تقاطعه مع محور التراتيب).

الخاصية	الدالة الأسية: f(x) = eˣ	الدالة اللوغاريتمية: g(x) = ln(x)
مجموعة التعريف	`ℝ = ]-∞; +∞[`	`]0; +∞[`
مجموعة الصور	`]0; +∞[` (دائماً eˣ > 0)	`ℝ = ]-∞; +∞[`
المشتقة	`(eˣ)' = eˣ` `(eᵘ)' = u' × eᵘ`	`(ln x)' = 1 / x` `(ln u)' = u' / u` `(ln
اتجاه التغير	متزايدة تماماً على ℝ	متزايدة تماماً على `]0; +∞[`
التقاطع مع المحاور	تقطع التراتيب في `(0; 1)` ولا تقطع الفواصل	تقطع الفواصل في `(1; 0)` ولا تقطع التراتيب
النهايات الشهيرة	`lim eˣ = +∞` (عند +∞) `lim eˣ = 0` (عند -∞)	`lim ln(x) = +∞` (عند +∞) `lim ln(x) = -∞` (عند 0⁺)
نهايات التزايد المقارن	`lim (eˣ / xⁿ) = +∞` (عند +∞) `lim (xⁿ eˣ) = 0` (عند -∞)	`lim (ln(x) / xⁿ) = 0` (عند +∞) `lim (xⁿ ln x) = 0` (عند 0⁺)
نهايات العدد المشتق	`lim_{x→0} (eˣ - 1) / x = 1`	`lim_{x→0} ln(1+x) / x = 1` `lim_{x→1} ln(x) / (x - 1) = 1`
الخواص الجبرية	`eᵃ × eᵇ = eᵃ⁺ᵇ` `eᵃ / eᵇ = eᵃ⁻ᵇ` `(eᵃ)ⁿ = eⁿᵃ` `e⁰ = 1` و `e¹ = e ≈ 2.718`	`ln(a × b) = ln a + ln b` `ln(a / b) = ln a - ln b` `ln(aⁿ) = n ln a` `ln(1) = 0` و `ln(e) = 1`

العلاقة التبادلية: e^(ln x) = x (لكل x > 0) ، ln(eˣ) = x (لكل x ∈ ℝ)