الاستمرارية، مبرهنة القيم المتوسطة (TVI) والاشتقاقية

📸 الوثيقة المرجعية الرسمية للدرس (الأستاذ توامي Maths - mathonec.com):

$الاستمرارية ومبرهنة القيم المتوسطة والاشتقاقية$

🔍 فتح صفحة الملخص الأصلية بالحجم الكامل (HD)

$الاستمرارية ومبرهنة القيم المتوسطة والاشتقاقية$

🔍 فتح صفحة الملخص الأصلية بالحجم الكامل (HD)

1. استمرارية دالة عددية (Continuité)

التعريف: نقول أن دالة f مستمرة عند x₀ إذا وفقط إذا كانت:
lim f(x) = f(x₀) عندما x → x₀
الاستمرارية على مجال: تكون الدالة مستمرة على مجال I إذا كانت مستمرة عند كل نقطة من هذا المجال.
قاعدة هامة: الدوال المألوفة (كثيرات الحدود، الناطقة، الصمّاء، الأسية، اللوغاريتمية، الجيب والجيب تمام) مستمرة على كل مجال من مجالات تعريفها.

2. مبرهنة القيم المتوسطة (Théorème des Valeurs Intermédiaires - TVI)

أ. نص المبرهنة العامة (وجود حل على الأقل)

إذا كانت f دالة مستمرة على مجال مغلق [a; b]، فإنه من أجل كل عدد حقيقي k محصور بين f(a) و f(b)، يوجد على الأقل عدد حقيقي c ينتمي إلى [a; b] بحيث: f(c) = k.

ب. مبرهنة وحدانية الحل (الرتوبة التامة)

إذا كانت f دالة مستمرة ورتيبة تماماً (متزايدة تماماً أو متناقصة تماماً) على [a; b]، فإنه من أجل كل k محصور بين f(a) و f(b)، المعادلة f(x) = k تقبل حلاً وحيداً c في المجال [a; b].

ج. حالة خاصة شائعة جداً في البكالوريا: حل المعادلة f(x) = 0

إذا كانت f مستمرة على [a; b] وكان:

f(a) × f(b) < 0

فإن المنحنى `(Cf)` يقطع محور الفواصل، والمعادلة `f(x) = 0` تقبل **حلاً على الأقل** `α` في `]a; b[`. (وإذا كانت `f` رتيبة تماماً فإن الحل `α` **وحيد**).

3. صورة مجال بدالة مستمرة f

المجال I	صورة المجال f(I) إذا كانت f متزايدة تماماً	صورة المجال f(I) إذا كانت f متناقصة تماماً
`[a; b]`	`[f(a); f(b)]`	`[f(b); f(a)]`
`]a; b[`	`]lim f(x) (x→a⁺); lim f(x) (x→b⁻)[`	`]lim f(x) (x→b⁻); lim f(x) (x→a⁺)[`
`[a; +∞[`	`[f(a); lim f(x) (x→+∞)[`	`]lim f(x) (x→+∞); f(a)]`

4. قابلية الاشتقاق (Dérivabilité) والعدد المشتق

نقول أن دالة f قابلة للاشتقاق عند x₀ إذا كانت نسبة التزايد تؤول إلى عدد حقيقي منتهٍ L:

lim [f(x) - f(x₀)] / (x - x₀) = f'(x₀) عندما x → x₀

يسمى العدد `f'(x₀)` **العدد المشتق** للدالة `f` عند `x₀`.

5. جدول مشتقات الدوال المألوفة

الدالة f(x)	مشتقتها f'(x)	مجال قابلية الاشتقاق
عدد ثابت `k`	`0`	ℝ
`ax + b`	`a`	ℝ
`xⁿ` (مع n ∈ ℕ*)	`n xⁿ⁻¹`	ℝ
`1 / x`	`-1 / x²`	`]-∞; 0[` و `]0; +∞[`
`1 / xⁿ`	`-n / xⁿ⁺¹`	`ℝ*`
`√x`	`1 / (2√x)`	`]0; +∞[` (غير قابلة للاشتقاق عند 0)
`sin(x)`	`cos(x)`	ℝ
`cos(x)`	`-sin(x)`	ℝ
`sin(ax + b)`	`a cos(ax + b)`	ℝ
`cos(ax + b)`	`-a sin(ax + b)`	ℝ

6. قواعد الاشتقاق على العمليات ومركب دالتين

المجموع: (u + v)' = u' + v'
الجداء: (u × v)' = u'v + uv'
جداء في ثابت: (k × u)' = k × u'
المقلوب: (1 / v)' = -v' / v²
حاصل القسمة: (u / v)' = (u'v - uv') / v²
القوة: (uⁿ)' = n × u' × uⁿ⁻¹
مشتقة الجذر التربيعي: (√u)' = u' / (2√u) (بشرط u(x) > 0 قطعا)
مشتقة مركب دالتين: (u ∘ v)'(x) = v'(x) × u'(v(x))

الرياضيات بكالوريا: الاستمرارية ومبرهنة القيم المتوسطة والاشتقاقية